Why was the Shofar that was blown on Rosh Hashanah in the Beit Hamikdash plated with gold?

Rabbi Yechezkel Landau, famed author of responsa נודע ביהודה answers this question parenthetically in a letter written to his student, author of responsa תשובה מאהבה. Here is what he says:  

ולעניות דעתי נראה דרבינו [הרמב"ם] סבירא ליה דכל הציפוי לא הי' אלא לנוי בעלמא משום חבוב מצוה ומעצמן הנהיגו כן ולא מצד הדין. 

[Translation: It appears to me that Maimonides is of the opinion that the Shofar was plated in an expression of endearment towards the Mitzvah, and this practice was initiated by the people themselves and is not a requirement of the law.] 

Clearly, then, this was the minhag in the Beit Hamikdash to bring honor to the mitzvah, whose Biblical source would only be the general instruction to be mehader bemitzvah, as it is learned from the pasuk, זה א-לי ואנוהו.

Why are the angels in Genesis 28:12 referred to as מלאכי אלקים?

The Tikunei Zohar (vol. II, p. 85a) explains the function of the angels represented in Yaakov's dream in the context of prayer. There are several groups of angels who are active during particular times of the night, and the group that functions in the final third of the night is called מלאכי אלקים, and it is this group that Zohar attributes to the dream.

Here is the full quote from the Zohar (with the explanation of the Matuk Midvash):

וְעוֹד יש לפרש מה שכתוב וִידֵי אָדָם מִתַּחַת כַּנְפֵיהֶם דהיינו אִית בְּנֵי נָשָׁא דְּסָלְקִין דּוֹרוֹנָא לְמַטְרוֹנִיתָא יש בני אדם שמעלים על ידי תפלתן דורון להמלכה שהיא השכינה, וּבְהוֹן ובתפלתם מַלְאֲכֵי אלהי"ם הם מלאכי השכינה הנקראת אלהי"ם, עלִים וְירְדִים בּוֹ פי' עולים עם השכינה אל ז"א, ואמר מה שכתוב "עולים", היינו בְּהַהוּא בַּר נָשׁ בְּנִשְׁמָתֵהּ בכח נשמת אותו האדם, דְּסָלְקָא דּוֹרוֹנָא לְמַלְכָּא שהעלה הדורון שהיא התפלה למלך ז"א, ואחר כך "ויורדים בו" דהיינו וְנָחֲתָא דּוֹרוֹנָא מִנֵּהּ לְמַטְרוֹנִיתָא אז יורד דורון ושפע מן המלך להמלכה שהיא השכינה, והמלאכים יורדים עם השפע, (ועוד מה שכתוב "עולים ויורדים בו" כי כל עליה הוא בהקב"ה, וכל ירידה היא בשכינה, כי השכינה היא מעלה את התפלה להקב"ה, ועל ידי זה הקב"ה מוריד לה שפע לפרנס את עולמות התחתונות). 

Why was the city of Ninveh spared, but Sodom was destroyed?

The Torah seems to indicate that in truth, Ninveh was slated to be destroyed in the very same way Sodom was. This is why the Navi tells us: 

 יונה (ג:ד): וַיָּחֶל יוֹנָה לָבוֹא בָעִיר מַהֲלַךְ יוֹם אֶחָד וַיִּקְרָא וַיֹּאמַר עוֹד אַרְבָּעִים יוֹם וְנִינְוֵה נֶהְפָּכֶת:

Radak comments: 

(ד) ויחל יונה ... היה קורא ואומר עוד ארבעים יום ונינוה נהפכת רצונו לומר כמהפכת סדום ועמורה כי מעשיה היו כמעשיהם.

Indeed, the reason Ninveh didn't share the same fate, is also spelled out clearly in the following posuk:

(ה) וַיַּאֲמִינוּ אַנְשֵׁי נִינְוֵה בֵּאלֹהִים וַיִּקְרְאוּ צוֹם וַיִּלְבְּשׁוּ שַׂקִּים מִגְּדוֹלָם וְעַד קְטַנָּם:

They returned to G-d and mended their ways. Whereas Sodom, the opposite resulted, as we see that even Lot couldn't convince his own sons-in-law to flee the city for they did not believe that G-d would destroy it:

בראשית (יט, יד): וַיֵּצֵא לוֹט וַיְדַבֵּר אֶל חֲתָנָיו לֹקְחֵי בְנֹתָיו וַיֹּאמֶר קוּמוּ צְּאוּ מִן הַמָּקוֹם הַזֶּה כִּי מַשְׁחִית יְקֹוָק אֶת הָעִיר וַיְהִי כִמְצַחֵק בְּעֵינֵי חֲתָנָיו:

But why didn't G-d send them a prophet who would inform them of their fate if they do not repent, as He did with Ninveh?

The answer given isn't surprising: G-d knew that they would turn a deaf ear to a prophet, and therefore didn't attempt to take that route. 

See the quotation in Leket mitzvat teshuvah utzedakah (p. 140): 

ה' ידע שאנשי נינוה יאמינו לנביא שישלח להם ויעשו תשובה, ואילו אנשי סדום לא יאמינו לו ולא יחזרו בתשובה, שהרי באותו לילה שבאו המלאכים להפוך את סדום, סיפר לוט לחתניו את הדבר והם לא האמינו לו אלא לעגו לו ... ויהי כמצחק בעיניו.

Why is the word נערה typically written in the Torah without the final ה?

The first noteworthy point here is that there is only one instance in the Torah where na'arah is spelled with a final hey. This appears in Deuteronomy 22:19. All other instances (Genesis 34:3, 12) are without a final hey.   

According to the Zohar (Parshat Bo) a female who has not yet developed her feminine capacity is referred to as a na'ar without a hey. Rivkah was less than three years old (according to many opinions) when she met Eliezer and therefore is referred to as a na'ar rather than a na'arah (See Midrash Zuta to Bereishit 34:4 as well). 

In other places in the Torah, the absence of the hey in the word na'arah indicates that she had conducted herself in a manner not befitting to her. For example, Dinah (daughter of Yaakov), who "went out to see the daughters of the land" and was then seduced by Shechem. The Torah is critical of her behavior and demonstrates this by removing the final hey. 

Along these lines, Na'ar (נער) is of the same numerical value as shoteh שוטה (fool), and one who does something that is a shtus (deviant) is considered a na'ar - a fool, and thus the Torah is indicating that her behavior was foolish (Ba'al Haturim to Genesis 37:2 - Rabbeinu Yakov ben Asher, son of the Rosh).

In Deuteronomy (ibid), all other references to the girl in that discussion are made without the additional hey, because again, there too the girl - at that point in the development of the story - had conducted herself inappropriately. Only once she has been established as a pure victim is she exonerated and referred to as a na'arah, complete with a hey.