Why was the city of Ninveh spared, but Sodom was destroyed?

The Torah seems to indicate that in truth, Ninveh was slated to be destroyed in the very same way Sodom was. This is why the Navi tells us: 

 יונה (ג:ד): וַיָּחֶל יוֹנָה לָבוֹא בָעִיר מַהֲלַךְ יוֹם אֶחָד וַיִּקְרָא וַיֹּאמַר עוֹד אַרְבָּעִים יוֹם וְנִינְוֵה נֶהְפָּכֶת:

Radak comments: 

(ד) ויחל יונה ... היה קורא ואומר עוד ארבעים יום ונינוה נהפכת רצונו לומר כמהפכת סדום ועמורה כי מעשיה היו כמעשיהם.

Indeed, the reason Ninveh didn't share the same fate, is also spelled out clearly in the following posuk:

(ה) וַיַּאֲמִינוּ אַנְשֵׁי נִינְוֵה בֵּאלֹהִים וַיִּקְרְאוּ צוֹם וַיִּלְבְּשׁוּ שַׂקִּים מִגְּדוֹלָם וְעַד קְטַנָּם:

They returned to G-d and mended their ways. Whereas Sodom, the opposite resulted, as we see that even Lot couldn't convince his own sons-in-law to flee the city for they did not believe that G-d would destroy it:

בראשית (יט, יד): וַיֵּצֵא לוֹט וַיְדַבֵּר אֶל חֲתָנָיו לֹקְחֵי בְנֹתָיו וַיֹּאמֶר קוּמוּ צְּאוּ מִן הַמָּקוֹם הַזֶּה כִּי מַשְׁחִית יְקֹוָק אֶת הָעִיר וַיְהִי כִמְצַחֵק בְּעֵינֵי חֲתָנָיו:

But why didn't G-d send them a prophet who would inform them of their fate if they do not repent, as He did with Ninveh?

The answer given isn't surprising: G-d knew that they would turn a deaf ear to a prophet, and therefore didn't attempt to take that route. 

See the quotation in Leket mitzvat teshuvah utzedakah (p. 140): 

ה' ידע שאנשי נינוה יאמינו לנביא שישלח להם ויעשו תשובה, ואילו אנשי סדום לא יאמינו לו ולא יחזרו בתשובה, שהרי באותו לילה שבאו המלאכים להפוך את סדום, סיפר לוט לחתניו את הדבר והם לא האמינו לו אלא לעגו לו ... ויהי כמצחק בעיניו.